Ⅲ- 1. 피타고라스 정리

01

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm angleC = 90°]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barAD = 12``cm],
[eqn: rm barBD = 17``cm], [eqn: rm barDC = 8``cm]일
때, [eqn: rm barAB]의 길이를 구하시오.

02

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm angleC = 90°]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {bar{AB}} =15],
[eqn: rm {bar{AC}} =9]이고 점 [eqn: rmM]이
[eqn: rm barBC]의 중점일 때, [eqn: rm {barAM}^2]의 값을 구하시오.

03

오른쪽 그림의 [eqn: rm□ABCD]에서 [eqn: rm angleA = angleC = 90°]이고
[eqn: rm barAB = barAD], [eqn: rm barBC = 5],
[eqn: rm {barCD}^2 = 7]일 때, [eqn: rm barAB]의 길이를 구하시오.

04

가로의 길이와 세로의 길이의 비가 [eqn: 3:4]인 직사각형의 대각선의 길이가 [eqn: 10 rm``cm]일 때, 이 직사각형의 넓이는?

① [eqn: 40``rmcm^2]	② [eqn: 44 rm``cm^2]	③ [eqn: 48``rmcm^2]

④ [eqn: 52``rmcm^2]	⑤ [eqn: 56``rmcm^2]

05

오른쪽 그림과 같은
사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서
[eqn: rm barAB =8``cm], [eqn: rm barAD = 5``cm],
[eqn: rm barBC = 11``cm]일 때, [eqn: rm barCD]의 길이는?

① [eqn: rm 9``cm]	② [eqn: 19 over 2 rm``cm]	③ [eqn: 10 rm``cm]

④ [eqn: 21 over 2 rm``cm]	⑤ [eqn: 11 rm``cm]

06

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm barAB = barAC = 10``cm], [eqn: rm barBC = 16 ``cm]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 할 때, [eqn: rm barGH]의 길이를 구하시오.

07

오른쪽 그림은
[eqn: rm angleC = 90°]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]의 세 변을 각각 한
변으로 하는 세 정사각형
을 그린 것이다.
[eqn: rm □ACDE]의 넓이가
[eqn: 27 rm``cm^2], [eqn: rm □BHIC]의 넓이가 [eqn: 22 rm``cm^2]일 때, [eqn: rm barAB]의 길이를 구하시오.

08

오른쪽 그림은 [eqn: rm angleA = 90°]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 정사각형을 그린 것이다. 다음 중 넓이가 나머지 넷과 다른 하나는?

① [eqn: rm triangleABF]	② [eqn: rm triangleBCH]	③ [eqn: rm triangleBFL]

④ [eqn: rm triangleEBA]	⑤ [eqn: rm triangleEBC]

09

오른쪽 그림은 [eqn: rm angleA = 90°]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barBC]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmBDEC]를 그린 것이다. [eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: rm {bar{BC}} =8]이고 [eqn: rm barAF bot barDE]일 때, [eqn: rm □GFEC]의 넓이를 구하시오.

10

오른쪽 그림은 [eqn: rm angleA = 90°]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barBC]를 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. [eqn: rm barAB = 8``cm],
[eqn: rm barAC = 6``cm]일 때, 어두운 부분의 넓이를 구하시오.

11

오른쪽 그림과 같이
한 변의 길이가 [eqn: a+b]인
정사각형 [eqn: rmABCD]에서
[eqn: rm bar EF = barFG][eqn: rm= barGH = barHE =][eqn: c]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: rm angleEFG = 90°]

② [eqn: rm triangleAEH == triangleCGF]

③ [eqn: rm □EFGH]는 정사각형이다.

④ [eqn: rm □EFGH = 4 triangleAEH]

⑤ [eqn: a^2 + b^2 =c^2]

12

세 변의 길이가 보기와 같은 삼각형에서 직각삼각형인 것을 모두 고른 것은?

㈀ [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5]	㈁ [eqn: 5], [eqn: 12], [eqn: 13]

㈂ [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]	㈃ [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 10]

① ㈀, ㈁	② ㈀, ㈂	③ ㈁, ㈂

④ ㈁, ㈃	⑤ ㈂, ㈃

13

세 변의 길이가 [eqn: 8], [eqn: 15], [eqn: 17]인 삼각형의 넓이를 구하시오.

14

[eqn: rm triangleABC]에서 [eqn: rm barAB = 4], [eqn: rm barBC = 5], [eqn: rm barCA = 6]일 때, [eqn: rm triangleABC]는 어떤 삼각형인가?

① 예각삼각형

② [eqn: rm angleA >90°]인 둔각삼각형

③ [eqn: rm ANGLE B=90°]인 직각삼각형

④ [eqn: rm angleB >90°]인 둔각삼각형

⑤ [eqn: rmangleC > 90°]인 둔각삼각형

15

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm angleA = 90°]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barAB], [eqn: rm barAC]를 지름으로 하는 두 반원의 넓이가 각각 [eqn: 8 pi], [eqn: 10pi]일 때, [eqn: rm barBC]의 길이는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

16

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm angleB = 90°], [eqn: rm barAB = 8 ``cm]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 각 변을 지름으로 하는 세 반원을 그렸다. [eqn: rm barAC]를 지름으로 하는 반원의 넓이가 [eqn: 25 over 2 pi rm``cm^2]일 때, [eqn: rm barBC]를 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.

17

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm angleA = 90°], [eqn: rm barBC = 10``cm]인 직각이등변삼각형
[eqn: rmABC]의 각 변을 지름으로 하는 세 반원을 그렸을 때, 어두운 부분의 넓이를 구하시오.

18

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 8]인 원 [eqn: rmO]의 지름 [eqn: rm AB]를 한 변으로 하고 원 위의 점 [eqn: rmC]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm triangleABC]에서 변 [eqn: rmCA]와 [eqn: rm CB]를 지름으로 하는 두 반원을 그릴 때, 어두운 두 부분의 넓이가 각각 [eqn: 2pi], [eqn: 6 pi]라 한다. 점 [eqn: rmC]에서 [eqn: rm barAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rm barCH]의 길이를 구하시오.

19

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm angleB = 90°]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barAE = 5],
[eqn: rm barDC =6]일 때, [eqn: rm {barAC}^2 + {barDE}^2]의 값은?

① [eqn: 55]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 61]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 67]

20

오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm□ABCD]에서 [eqn: rm barAC bot barBD]이고 [eqn: rm barAB = 9], [eqn: rm barCD =8], [eqn: rm barOD =6]이다. [eqn: rm barAC]와 [eqn: rm barBD]의 교점을 [eqn: rmO]라 할 때,
[eqn: rm triangleAOD]의 넓이를 구하시오.
(단, [eqn: rm {barBC}^2 = 45])

21

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm barAD ⫽barBC]인 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm barAC bot barBD]이고 [eqn: rm barOA = barOD = 2],
[eqn: rm barBC =8]일 때, [eqn: rm barAB]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 13 over 2]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 15 over 2]	⑤ [eqn: 8]

22

오른쪽 그림과 같이 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 4], [eqn: 8]인 직육면체의 대각선의 길이가 [eqn: 12]일 때, [eqn: rm barDH]의 길이를 구하시오.

23

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 8 rm``cm]이고 부피가 [eqn: 320 pi rm``cm^3]인 원뿔이 있다. 밑면의 지름 [eqn: rmAB]에 대하여
[eqn: rm triangleOAB]의 둘레의 길이를 구하시오.

24

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 겉면을 따라 [eqn: rm barBC]를 지나 점 [eqn: rmG]에 이르는 최단 거리는?

① [eqn: 18 rm``cm]	② [eqn: 19 rm``cm]

③ [eqn: 20 rm``cm]	④ [eqn: 21 rm``cm]

⑤ [eqn: 22 rm``cm]

<정답 및 풀이>

Ⅲ- 1. 피타고라스 정리

01 [eqn: 25 rm``cm]	02 [eqn: 117]	03 [eqn: 4]	04 ③	05 ③

06 [eqn: 2 rm``cm]	07 [eqn: 7 rm``cm]	08 ②	09 [eqn: 48]	10 [eqn: 50 rm``cm^2]

11 ④	12 ③	13 [eqn: 60]	14 ①	15 ③

16 [eqn: 9 over 2 pi rm``cm^2]	17 [eqn: 25``rmcm^2]	18 [eqn: pi]	19 ③

20 [eqn: 24]	21 ①	22 [eqn: 8]	23 [eqn: 50 rm``cm]	24 ③

01    [eqn: 25 rm``cm]

[eqn: rm triangleDBC]에서   [eqn: rm {barBC}^2 = 17^2 -8^2 = 225]

[eqn: therefore~rm barBC = 15 ``(cm)]

[eqn: rm triangleABC]에서   [eqn: rm {barAB}^2 = 15^2 + 20^2 = 625]

[eqn: therefore~rm barAB = 25``(cm)]

02    [eqn: 117]

[eqn: rm triangleABC]에서   [eqn: rm {barBC}^2 = 15^2 -9^2 = 144]   [eqn: THEREFORE ~ rm {bar{BC}} =12]

[eqn: THEREFORE ~ rm {bar{BM}} = {bar{CM}} =6`]

[eqn: rm triangleAMC]에서   [eqn: rm{barAM}^2 = 6^2 + 9^2 = 117]

03    [eqn: 4]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm {bar{BD}}]를 긋고 [eqn: rm barAB = itx]라 하면

[eqn: rm triangleABD]에서   [eqn: rm {barBD}^2 = it x^2 + x^2 = 2x^2]

[eqn: rm triangleDBC]에서   [eqn: rm {barBD} ^2 = 5^2 +7 =32]

즉 [eqn: 2x^2 =32]이므로   [eqn: x^2 =16]

[eqn: therefore~x=4``(because~x>0)]   [eqn: rm therefore~ barAB = 4]

04    ③

가로의 길이와 세로의 길이를 각각 [eqn: 3k`rmcm], [eqn: 4k`rmcm] ([eqn: k>0])라 하면   [eqn: (3k)^2 + (4k)^2 = 10^2],   [eqn: k^2 =4]

[eqn: therefore~k=2] [eqn: (because~k>0)]

따라서 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 [eqn: 6`rmcm], [eqn: 8`rmcm]이므로

직사각형의 넓이는

[eqn: 6 times 8 = 48``(rmcm^2 )]

05    ③

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 [eqn: rm barBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면
[eqn: rm {bar{BH}} = {bar{AD}} =5``(cm)]이므로
[eqn: rm barCH = 11-5= 6``(cm)]

• 본문 21 ~ 25쪽

[eqn: rm triangleCDH]에서   [eqn: rm {barCD }^2 = 6^2 +8^2 = 100]

[eqn: therefore~rm barCD = 10 ``(cm)]

06    [eqn: 2 rm``cm]

• 본문 21 ~ 25쪽

[eqn: rm barBH =8`cm], [eqn: rm barAH bot barBC]이므로 [eqn: rm triangleABH]에서

[eqn: rm {barAH}^2 = 10^2 - 8^2 = 36]   [eqn: therefore~rm barAH = 6``(cm)]

[eqn: therefore~rm barGH = 1 over 3 barAH = 1 over 3 times 6 = 2``(cm)]

07    [eqn: 7 rm``cm]

[eqn: rm □AFGB=27+22=49``( rm cm ^{2} )]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2}} =49]   [eqn: therefore~rm barAB = 7``(cm)]

08    ②

[eqn: rm barDC ⫽barEB]이므로   [eqn: rm triangleEBA = triangleEBC]

[eqn: rm triangleEBC == triangle ABF] ([eqn: rmSAS] 합동)이므로   [eqn: rm triangleEBC = triangleABF]

[eqn: rm barBF ⫽barAM]이므로   [eqn: rm triangleABF = triangleBFL]

[eqn: rmtherefore~ triangleEBA = triangleEBC = triangleABF = triangleBFL]

09    [eqn: 48]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm barAC]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmACHI]를 그리면

[eqn: rm□GFEC = □ACHI]

이때 [eqn: rm triangleABC]에서
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} =8 ^{2} -4 ^{2} =48]

[eqn: rm THEREFORE ~□GFEC=□ACHI= {bar{AC}} ^{2} =48]

10    [eqn: 50 rm``cm^2]

[eqn: triangle rmABC]에서   [eqn: rm {rm barBC}^2 = 8^2 +6^2 =100]   [eqn: therefore~rm barBC = 10``(rmcm)]

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 [eqn: rm barBC], [eqn: rm barDE]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmL], [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: rm triangleABD = triangleLBD = 1 over 2 □BDML],

[eqn: rm triangleAEC = triangleL EC = 1 over 2 □ LMEC]

따라서 어두운 부분의 넓이는

[eqn: rm triangleABD + triangleAEC = 1 over 2 (□BDML + □LMEC)]

[eqn: rm= 1 over 2 □BDEC][eqn: = 1 over 2 times 10^2][eqn: = 50``(rmcm^2 )]

11    ④

④ [eqn: rm□EFGH = it c^2 = a^2 + b^2], [eqn: 4 rm triangleAEH = 4 times 1 over 2 times it a times b = 2ab]

12    ③

㈁ [eqn: 5^2 + 12^2 = 13^2]

㈂ [eqn: 3^2 + 4^2 = 5^2]

13    [eqn: 60]

[eqn: 8 ^{2} +15 ^{2} =17 ^{2}]이므로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 [eqn: 17]인 직각삼각형이다.

따라서 삼각형의 넓이는   [eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES 15=60]

14    ①

[eqn: 4^2 + 5^2 > 6^2]이므로 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 예각삼각형이다.

15    ③

어두운 부분의 넓이는 [eqn: rm barBC]를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같으므로   [eqn: 1 over 2 times pi times left( {rm barBC over 2 right)^2 = 8pi + 10pi]

[eqn: rm {bar BC}^2 =144]   [eqn: therefore~rm barBC = 12]

16    [eqn: 9 over 2 pi rm``cm^2]

[eqn: rm barAB]를 지름으로 하는 반원의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times pi times 4^2 = 8 pi`` (rmcm^2 )]

따라서 [eqn: rm barBC]를 지름으로 하는 반원의 넓이는

[eqn: 25 over 2 pi - 8pi = 9 over 2 pi ``(rmcm^2 )]

17    [eqn: 25``rmcm^2]

[eqn: rm barAB = barAC = it x rm``cm]라 하면

[eqn: rm triangleABC]에서   [eqn: x^2 + x^2 = 10^2]   [eqn: therefore~x^2 = 50]

[eqn: therefore] (어두운 부분의 넓이)[eqn: = rm triangleABC = it 1 over 2 x^2 = 25``(rmcm^2 )]

18    [eqn: pi]

[eqn: rm triangleABC = 2pi + 6pi = 1 over 2 times 16 times barCH]이므로

[eqn: rm barCH = pi]

19    ③

[eqn: rm {barAC}^2 + {barDE}^2 = 5^2 +6^2 =61]

20    [eqn: 24]

[eqn: rm {barAB}^2 + {barCD}^2 = {barBC}^2 + {barDA}^2]이므로

[eqn: 9^2 + 8^2 = 45 + rm{barAD}^2],   [eqn: rm {barAD}^2 =100]   [eqn: therefore~rm barAD = 10]

[eqn: rm triangleAOD]에서   [eqn: rm {barAO}^2 = 10^2 -6^2 =64]   [eqn: therefore~rm barAO = 8]

[eqn: therefore~triangle rm AOD = 1 over 2 times 6 times 8 = 24]

21    ①

[eqn: rm triangleAOD]에서   [eqn: rm {barAD}^2 = 2^2 + 2^2 = 8]

[eqn: rm barAB = barCD]이므로   [eqn: rm {barAD}^2 + {barBC}^2 = {barAB}^2 + {barDC}^2]

[eqn: 8 + 8^2 = 2 rm {barAB}^2],   [eqn: rm {barAB}^2 = 36]   [eqn: rmtherefore~barAB = 6]

22    [eqn: 8]

[eqn: rm barDH =it x]라 하면   [eqn: 4^2 + 8^2 + x^2 =12^2]

[eqn: x^2 = 64]   [eqn: therefore~x=8] ([eqn: because~x>0])

23    [eqn: 50 rm`cm]

오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: 1 over 3 times pi times 8^2 times rm barOH = 320pi]이므로

[eqn: rm barOH = 15``(cm)]

[eqn: rm triangleOAH]에서   [eqn: rm {barOA}^2 = 8^2 + 15^2 = 289]

[eqn: therefore~ rm barOA = barOB = 17``(cm)]

따라서 [eqn: rm triangleOAB]의 둘레의 길이는

[eqn: 17+17+16=50``(rmcm)]

24    ③

구하는 최단 거리는 오른쪽 그림에서 [eqn: rm barAG]의 길이이므로

[eqn: rm {barAG}^2 = (6+10)^2 + 12^2 = 400]

[eqn: therefore~rm barAG = 20``(cm)]